a) Medidas de posición central
Las principales medidas de posición central son las siguientes:
1.- Media: es el valor medio ponderado de la serie de datos. Se pueden calcular
diversos tipos de media, siendo las más utilizadas:
Se calcula sumando todos los datos y dividiendo entre el total de datos $n$
$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}= \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$También se puede calcular, si se tienen los datos en una tabla de frecuencias, multiplicando cada valor por el número de veces que se repite (su frecuencia absoluta simple). La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:
$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i*n_i}{n}=\frac{x_1*n_1+x_2*n_2+...+x_n*n_n}{n}$$Halle el promedio o media de las edades en un grupo de 4 personas, donde la edad de cada persona como se indica:
| No. lista | Nombre | Edad |
|---|---|---|
| 1 | Ana | 19 |
| 2 | Jesús | 17 |
| 3 | Juan | 29 |
| 4 | Melisa | 21 |
La media es:
$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^4 x_i}{4}=\frac{19+17+29+21}{4} = 21.5 $$Es decir, la edad media está entre 21 y 22 años.
Se tiene la siguiente información sobre las notas en una evaluación de matemáticas de 10 preguntas tipo Verdadero/Falso:
| No. lista | Nombre | Nota |
|---|---|---|
| 1 | Ana | 2.5 |
| 2 | Jesús | 1.5 |
| 3 | Juan | 3.0 |
| 4 | Melisa | 3.0 |
| 5 | Carolina | 3.5 |
| 6 | Maria | 2.5 |
| 7 | Karina | 4.0 |
| 8 | Jaime | 1.5 |
| 9 | Julián | 2.5 |
| 10 | Melany | 3.5 |
| 11 | Franco | 3.0 |
| 12 | Gilberto | 4.0 |
Se realiza una tabla de frecuencias simple:
| Nota | Frecuencia |
|---|---|
| 1.5 | 2 |
| 2.5 | 3 |
| 3.0 | 3 |
| 3.5 | 2 |
| 4.0 | 2 |
La media se calcula como:
$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^5 x_i*n_i}{n}=\frac{1.5*2+2.5*3+3.0*3+3.5*2+4.0*2}{12}=2.875$$Si se realiza el cálculo con la primera fórmula, da lo mismo. Compruébelo
Cuando los datos tienen diferentes pesos, se usa la media ponderada. Esto significa que algún dato pesa más o tiene más valor que otros datos
$$\bar{x} = \sum_{i=1}^n x_i*w_i$$Una formula similar, se usa si se tienen las frecuencias relativas de los datos:
$$\bar{x} = \sum_{i=1}^n x_i*fr_i$$Un profesor define las evaluaciones durante un periodo académico así:
- Quiz: 30%Juan obtuvo 4.0 en el quiz, 3.0 en el taller de ejercicios y 2.0 en el examen final. ¿Cuál es su nota definitiva o promedio?
Como hay pesos distintos, se aplica la media ponderada:
$$\bar{x} = \sum_{i=1}^3 x_i*w_i = 4.0*0.3+3.0*0.3+2.0*0.4 = 2.9$$Juan le reclama al profesor afirmando que su media aritmética es de 3.0, lo cual es cierto. ¿Qué cree que le responde el profesor?
La media geométrica es especialmente útil en situaciones como el cálculo de tasas de crecimiento, donde los valores pueden variar considerablemente,por ejemplo, si una inversión crece un 50% un año y disminuye un 50% al siguiente, la media aritmética no reflejará el rendimiento real de la inversión, mientras que la media geométrica sí lo hará.
La media geométrica tiene varias aplicaciones prácticas en diversas áreas:
Finanzas: Es comúnmente utilizada para calcular el rendimiento medio de inversiones a lo largo del tiempo.
Ciencias naturales: En biología y química, se utiliza para calcular promedios de crecimiento de poblaciones o concentraciones de sustancias.
Economía: Ayuda a medir tasas de inflación o crecimiento económico en términos compuestos.
Debido a su naturaleza, la media geométrica siempre será menor o igual a la media aritmética, lo que resalta la relación entre estas dos medidas. Esto se conoce como la desigualdad de las medias, que establece que la media aritmética es mayor o igual a la media geométrica para cualquier conjunto de números positivos.
Calcule la media geométrica de los datos de las notas de los 12 estudiantes
Solución. El calculo es:
$$\bar{G} = \sqrt[12]{1.5^2*2.5^3*3.0^3*3.5^2*4.0^2}=2.749$$Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica.
La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada.
Lo más positivo de la media es que en su cálculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde ninguna información.
Sin embargo, presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmética como geométrica) se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores anómalos podrían condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo ésta representatividad.
La media armónica (se representa como $\bar{H}$) se calcula como el recíproco de la media de los recíprocos de los datos
$$\bar{H}=\frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}= \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...\frac{1}{x_n}} $$Si se tienen las frecuencias absolutas de cada dato, también se puede calcular como:
$$H=\frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{n_i}{x_i}} $$La media armónica es particularmente útil en contextos donde los datos representan tasas, como velocidades o precios. Por ejemplo, si estás calculando la velocidad media de un viaje en el que has recorrido diferentes distancias a distintas velocidades, la media armónica te dará un resultado más representativo que la media aritmética.
Calcule la media armonica para los datos de las notas
$$\bar{H}=\frac{12}{\frac{2}{1.5}+\frac{3}{2.5}+\frac{3}{3.0}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{4.0}}=2.606 $$Carlos todas las mañanas le da 3 vueltas al parque de su barrio, que tiene unos 1200m. Con su reloj cronometra los tiempos de hoy y obtiene:
- 1ra. vuelta: 60 segundos
- 2da. vuelta: 75 segundos
- 3ra. vuelta: 80 segundos
Calcule la media aritmética de las velocidades, la media armonica y compare con la velocidad media con la fórmula de fisica
Solución: primero se calculan las velocidad en cada vuelta:
- 1ra. vuelta: $\bar{v_1}=\frac{1200m}{60s}= 20 m/s$Las velocidades medias son:
- Velocidad con media aritmética: $$\bar{v} = \frac{20 + 16+15}{3}=17 m/s$$ - Velocidad con media armónica: $$\bar{v} = \frac{3}{\frac{1}{20}+\frac{1}{16}+\frac{1}{15}} = 16.74 m/s$$
Para el cálculo con la velocidad media en la física, esta se define como:
$$\bar{v} = \frac{Total Recorrido}{Tiempo Total}=\frac{3*1200}{60+75+80}=16.74m/s$$Luego es claro que la media armónica da el mismo resultado que con la expresión que nos da la física.
1.- El mayor de los promedios entre aritmético, geométrico y armónico para dos o más cantidades diferentes es el promedio aritmético y el menor es el promedio armónico:
$$\bar{x}>\bar{G} > \bar{H}$$2.- Sólo se aplica a dos números, el producto de su media aritmética por su media armónica es igual a la media geométrica al cuadrado:
$$\bar{x}*\bar{H}=\bar{G}^2$$Esto se deduce así para dos valores $a,b$:
$$\bar{x}*\bar{H}=\frac{a+b}{2}*\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{a}{b}}$$ $$\bar{x}*\bar{H}=\frac{a+b}{2}*\frac{2ab}{a+b}=a*b$$Como da el producto de $a$ con $b$, esto corresponde a la media geométrica al cuadrado.
3.- Sólo aplica a dos cantidades $a,b$, La diferencia de cuadrados entre la media aritmética y la media geométrica resulta igual al cociente del cuadrado de la diferencia de las dos cantidades entre cuatro.
$$\bar{x}^2-\bar{G}^2=\frac{(a-b)^2}{4}$$La comprobación es:
$$\bar{x}^2-\bar{G}^2=(\frac{a+b}{2})^2-(\sqrt{a*b})^2$$ $$\bar{x}^2-\bar{G}^2=\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-\frac{4ab}{4}$$ $$\bar{x}^2-\bar{G}^2=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}$$4.- El promedio armónico de dos números $a$ y $b$, se cumple que:
$$\bar{H}=\frac{2ab}{a+b}$$Esta expresión resulta de la definición de la media armónica, así para dos cantidades $a$ y $b$:
$$\bar{H}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2}{\frac{a+b}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}$$5.- El promedio aritmético de una sucesión aritmética es igual al promedio aritmético del primer y último término.
Ejemplo: Hallar el promedio de: 6; 10; 14; 18; 22; 26; 30; 34.
$$\bar{x} = \frac{6+34}{2}=20$$A modo de verificar la propiedad, la media con todos los números es:
$$\bar{x} = \frac{6+ 10+ 14+ 18+ 22+ 26+ 30+ 34}{8}=\frac{160}{8}=20$$6.- El promedio geométrico de una progresión geométrica es igual al promedio geométrico del primer y último término.
Recordando una progresión geométrica:Una sucesión geométrica (o progresión geométrica) es una sucesión en la que cada término $a_n$ se obtiene multiplicando al término anterior $a$ por un número $r$ llamado razón. Esta razón $r$ debe ser constante durante toda sucesión
$a_1$
$a_2 = a_1*r$
$a_3=a_2*r$
...
Ejemplo. La sucesión de las potencias de 2 es una progresión geométrica con razón $r=2$:
$a_1=2$
$a_2 = 2*2 =4$
$a_3=4*2 =8$
$a_4=8*2 =16$
...
Para encontrar la razón $r$ en una sucesión geométrica, se divide un término con el anterior:
$$r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$Encuentre la razón en la sucesión: 5,15,45,135... y luego halle la media geométrica de estos valores hasta el décimo término.
Para encontrar la razón $r$, se divide el segundo término entre el primero:
$$r = \frac{a_{2}}{a_1}=\frac{15}{5}=3$$Ahora se completa la serie geométrica hasta el décimo término:
5, 15, 45, 135, 405, 1215, 3645, 10935, 32805, 98415
Luego la media geométrica es (usando la propiedad 6):
$$\bar{G}=\sqrt{5*98415}=701.48$$Realice el procedimiento completo con todos los 10 números y verifique el resultado.
Ejemplo propiedad 1.Observe los resultados de las tres tipos de medias para las notas, en que la media aritmética es $\bar{x}=2.875$, la media geométrica es $\bar{G}=2.749$ y la media armónica es $\bar{H}=2.606$. Luego es claro que se cumple la propiedad con estos datos.
La media aritmética de dos números es 12.5 y su media geométrica es 10. Hallar la diferencia de los números y los números.
$$\bar{x}^2-\bar{G}^2=12.5^2-10^2 = 156.25-100=56.25=\frac{(a-b)^2}{4}$$Luego la diferencia $a-b$ es:
$$\frac{(a-b)^2}{4}=56.25$$ $$a-b=\sqrt{56.25*4}=15$$Como la media es 12.5, esto es $a+b=2*12.5=25$. Luego tenemos el sistema de ecuaciones:
$$a+b=25$$ $$a-b=15$$Al sumar las dos ecuaciones se tiene.
$$2a = 40$$Luego $a=20$ y $b=25-20=5$
Calcule las medias aritmética y geométrica de $20$ y $5$ y confirme los datos de inicio.
Con la propiedad
2.- Mediana: es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente
en el centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50% son
superiores).
No presentan el problema de estar influido por los valores extremos, pero en
cambio no utiliza en su cálculo toda la información de la serie de datos (no
pondera cada valor por el número de veces que se ha repetido).
Para encontrar la mediana, se ordenan los datos en orden creciente y la mediana corresponderá al dato central, así:
Cantidad par de datos: La mediana es el promedio entre los dos datos centrales
Cantidad impar de datos: La mediana es el dato central $\frac{n+1}{2}$
Calcule la mediana de las notas
Solución. Se organizan los datos y se obtiene:
| No. dato | Nota |
|---|---|
| 1 | 1.5 |
| 2 | 1.5 |
| 3 | 2.5 |
| 4 | 2.5 |
| 5 | 2.5 |
| 6 | 3.0 |
| 7 | 3.0 |
| 8 | 3.0 |
| 9 | 3.5 |
| 10 | 3.5 |
| 11 | 4.0 |
| 12 | 4.0 |
Se observa que la mediana es el promedio entre los datos 6 y 7, como son iguales, es 3.0
EjemploEncuentra la mediana de las edades del siguiente grupo de trabajadores ya organizados de menor a mayor:
| No. lista | Nombre | Edad |
|---|---|---|
| 1 | Carolina | 19 |
| 2 | Jesús | 21 |
| 3 | Jaime | 23 |
| 4 | Melisa | 25 |
| 5 | Melany | 28 |
| 6 | Sandra | 28 |
| 7 | Nelson | 30 |
El dato central es $\frac{7+1}{2}=4$, que corresponde a 25, se observa que hay 3 pesonas menores que Melissa así como 3 personas mayores que ella.
es el valor que más se repite en la muestra.
Observe que la moda en la edad de los trabajadores del último ejemplo, corresponde a 28 que se repite 2 veces.
Ejemplo: vamos a utilizar la tabla de distribución de frecuencias con los datos de la estatura de los alumnos que vimos en la lección 2ª.
| Variable | Frecuencias absolutas | Frecuencias relativas | ||
| (Valor) | Simple | Acumulada | Simple | Acumulada |
| 1,20 | 1 | 1 | 3,3 % | 3,3 % |
| 1,21 | 4 | 5 | 13,3 % | 16,6 % |
| 1,22 | 4 | 9 | 13,3 % | 30,0 % |
| 1,23 | 2 | 11 | 6,6 % | 36,6 % |
| 1,24 | 1 | 12 | 3,3 % | 40,0 % |
| 1,25 | 2 | 14 | 6,6 % | 46,6 % |
| 1,26 | 3 | 17 | 10,0 % | 56,6 % |
| 1,27 | 3 | 20 | 10,0 % | 66,6 % |
| 1,28 | 4 | 24 | 13,3 % | 80,0 % |
| 1,29 | 3 | 27 | 10,0 % | 90,0 % |
| 1,30 | 3 | 30 | 10,0 % | 100,0 % |
Vamos a calcular los valores de las distintas posiciones centrales:
1.- Media aritmética:
 |
Por lo tanto, la estatura media de este grupo de alumnos es de 1,253 cm.
2.- Media geométrica:
| x = [(1,201)*(1,214)(1,224)*...(1,293)*(1,303)](1/30) x = 1,253 |
En este ejemplo la media aritmética y la media geométrica coinciden, pero no tiene siempre por qué ser así.
3.- Mediana:
La mediana de esta muestra es 1,26 cm, ya que por debajo está el 50% de los
valores y por arriba el otro 50%. Esto se puede ver al analizar la columna de
frecuencias relativas acumuladas.
En este ejemplo, como el valor 1,26 se repite en 3 ocasiones, la media se
situaría exactamente entre el primer y el segundo valor de este grupo, ya que
entre estos dos valores se encuentra la división entre el 50% inferior y el 50%
superior.
4.- Moda:
Hay 3 valores que se repiten en 4 ocasiones: el 1,21, el 1,22 y el 1,28, por lo
tanto esta seria cuenta con 3 modas.