El sumatorio es una herramienta matemática representada por la letra griega $\Sigma$ que expresa la suma de $n$ términos: $x_1, x_2, x_3,...x_n$:
$$\sum_{i=m}^n x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} +...+x_n$$ donde:En un grupo de 4 personas, sea la edad de cada persona como se indica:
| No. lista | Nombre | Edad |
|---|---|---|
| 1 | Ana | 19 |
| 2 | Jesús | 17 |
| 3 | Juan | 29 |
| 4 | Melisa | 21 |
Al calcular la suma de las edades $E_i$ con $i$ como el índice de cada persona según el número de lista:
$$\sum_{i=1}^4 E_i = E_1 + E_2 + E_3 + E_4 = 19+17+29+21 = 86$$Exprese como sumatoria la suma de los primeros 6 números naturales:
$$\sum_{i=1}^6 i = 1+2+3+4+5+6=21$$Exprese como sumatoria para calcular el total vivido por 4 niños con la misma edad de 5 años
$$\sum_{i=1}^4 5 = 5+5+5+5 = (4-1+1)*5 = 20$$Con esto podemos generalizar, que si el sumando no tiene índice, va a ser un término constante y así:
$$\sum_{i}^n x = x + x+ ...+x = (n-i+1)*x$$La historia relata que cuando Carl Friedrich Gauss, uno de los grandes matemáticos en toda la historia, tenía diez años su profesor de matemática le impuso al curso,
como una forma de mantenerlos ocupados por largo rato, el siguiente ejercicio:
Sumar todos los números desde el 1 hasta el 100, de este modo:
$$1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ...+ 98 + 99 + 100 $$
Confiado en que los niños estarían ocupados durante mucho rato, el profesor se
enfrascó en sus tareas de estudio, pero a los cinco minutos, el pequeño Gauss
le entregó el resultado: 5.050.
Sorprendido, el profesor le pidió a Gauss que le explicara cómo lo hizo:
El pequeño se dio cuenta de que la suma del primer número con el último (1 + 100 = 101) da un resultado que se repite sumando todos los simétricos:
$ 1 + 100 = 101; 2 + 99 = 101; 3 + 98 = 101; 4 + 97 = 101$; etc., logrando establecer 50 sumas cuyo resultado es 101.Entonces hizo 50 veces 101 que es igual a $50*101 = 5.050$
Este procedimiento nos conduce a la fórmula de la sumatoria de n números consecutivos:
$$\sum_{i=1}^n i = 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$$Al aplicar esta expresión al problema anterior, se tiene:
$$\sum_{i=1}^{100} i = 1+2+3+...+98+99+100 = \frac{100(100+1)}{2}=50(101) = 5.050$$Realice la suma de los primeros cinco cuadrados:
$$\sum_{i=1}^5 i^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2= \frac{5(5+1)(2*5+1)}{6}=$$Realice la suma de los primeros cinco cubos:
$$\sum_{i=1}^5 i^3 = 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3= \left(\frac{5(5+1)}{2}\right)^2=$$Realice la suma de los cuadrados consecutivos del 6 al 10.
En este caso se realiza la suma de los cuadrados del 1 al 10 y se le restan los cuadrados consecutivos del 1 al 5
$$\sum_{i=6}^{10} i^2 = \sum_{i=1}^{10} i^2-\sum_{i=1}^{5} i^2$$ $$=\frac{10(10+1)(2*10+1)}{6}-\frac{5(5+1)(2*5+1)}{6}=385-55=330$$Realice la suma de los cubos consecutivos del 6 al 10.
En este caso se realiza la suma de los cubos del 1 al 10 y se le restan los cubos consecutivos del 1 al 5
$$\sum_{i=6}^{10} i^3 = \sum_{i=1}^{10} i^3-\sum_{i=1}^{5} i^3$$ $$\left(\frac{10(10+1)}{2}\right)^2-\left(\frac{5(5+1)}{2}\right)^2=3025-225=2800$$Se usa la sumatoria para series como el número de Euler:
$$e=\sum_{n=0}^{\infty} (n!)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...$$También con la función exponencial $e^x$:
$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$$Aproxime el número de Euler con los primeros 5 términos
En este caso hacemos la sumatoria hasta n=4:
$$e=\sum_{n=0}^{4} \frac{1}{n!} \approx \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}$$ $$e \approx \frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24} \approx 2.7083$$Observe que el valor de $e$ es 2.71828183...
Aproxime la exponencial para $e^3$ con los primeros seis términos
$$e^3=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!} \approx 1+3+\frac{3^2}{2!}+\frac{3^3}{3!}+\frac{3^4}{4!}+\frac{3^5}{5!}$$ $$e^3=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!} \approx 1+3+\frac{9}{2}+\frac{27}{6}+\frac{81}{24}+\frac{243}{120} \approx 18.4$$Observe que $e^3 = 20.08553...$
Hay muchas formas de aproximar el número $\pi$, una es:
$$\pi = \sqrt{12} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-3)^{-k}}{2k+1}$$Encuentre el valor aproximado de $\pi$ con $n=3$ y halle el %Error tomando $\pi = 3.14159$ como el valor exacto, seún:
$$\%Error = \frac{(Valor_exacto)-(Valor_aproximado)}{Valor_exacto}*100$$Solución. En este caso el límite superior es 3:
$$\pi \approx \sqrt{12} \sum_{k=0}^{3}\frac{(-3)^{-k}}{2k+1} \approx \sqrt{12}\left(\frac{(-3)^{-0}}{2*0+1}+\frac{(-3)^{-1}}{2*1+1}+\frac{(-3)^{-2}}{2*2+1}+\frac{(-3)^{-3}}{2*3+1}\right)=3.1379$$Ahora el % error es
$$\%Error = \frac{(3.14159)-(3.1379)}{3.14159}*100 = 0.119%$$Hallar un Valor aproximado de $\pi$: en vez de realizar el cálculo al infinito, se va a evaluar la sumatoria hasta un valor n para llevar el cálculo de $\pi$ hasta un determinado % error. Determine el $n$ de la sumatoria y el correspondiente valor aproximado de $\pi$ para que el error sea menor al 0.009%.
Solución. Para un error de un 0.009%, el valor aproximado debe ser (despejando):
$$Valor_Aproximado = -(0.00009*Valor_Exacto-Valor_Exacto) = -(0.00009*\pi-\pi=3.14131$$Luego se realizan calculos hasta llegar a un valor superior o igual a 3.14131
$$\pi \approx \sqrt{12}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-3)^{-k}}{2k+1} \approx \sqrt{12}\left(1+\frac{(-3)^{-1}}{2*1+1}+\frac{(-3)^{-2}}{2*2+1}+\frac{(-3)^{-3}}{2*3+1}+\frac{(-3)^{-4}}{2*4+1}+\frac{(-3)^{-5}}{2*5+1}\right) = 3.14131$$Luego se requieren 6 pasos iterativos. Estos procedimientos normalmente se realizan con programación.